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1) 当 时，因 为偶数，存在边界线 。显然，稳定区域只可能存在于这两条边界线之间。
2) 当 时，不存在稳定的边界线。
3.4.3 平面稳定域的“逆时针”规律
当序列 中元素数量 较大时，存在多个可能的序列 使式(10)成立；此时需要对每个满足式 (10)的序列 运用(11)式，寻找可能存在的稳定区域。有的 所形成的稳定区域可能为空集，即使某 所形成的空间存在稳定区域，确定该稳定区域也显得比较繁琐和困难，本节将给出一种快速便利的确定方法。
在以 为横坐标、 为纵坐标的 平面上，令序列 中元素 表示边界直线的方向为正，用箭头向上表示； 表示边界直线的方向为负，箭头向下。显然，对于一个稳定闭区域，若对每个边界直线按上述规律表示，那么稳定区域必在其边界的左侧，同时封闭的稳定区域边界形成的方向具有“逆时针”规律，如图3.4所示。
图3.4 平面逆时针规律（示意图）
定理 3 首先按定义1确定交错序列 。已知序列 对应有 个边界线，这些边界线将 平面分割成若干区域；若某区域共有 ( )个边界，其所对应的元素有 ， ，且这 条边界方向符合逆时针规律，那么该区域为有效的稳定区域。
定理3说明，不必先找出满足(10)式的所有序列 再对每个序列 分析寻找可能存在的稳定区域。
例3： ，由逆时针规律，确定 时， 二文稳定平面。
图3.5 ， 与逆Nyquist曲线图交点
在此例中，给定 ，作直线 ，如图3.5所示，其与逆Nyquist曲线的交点坐标分别为：
A：(0,0.2017),B：(0,-0.2283),C：(0,0.3331)
在workspace中，查找出三点虚部所对应的各 值，求出 、 、 ，补充一条 所对应的直线。
： 、 、
首先确定 平面稳定域的边界，由 可得四条直线：
即可得出 平面稳定域交集：
图3.6 ， 二文稳定平面
由图所示，阴影部分所包含的封闭逆时针区域即为所求结果，即 时， 二文稳定平面。
例4： ，由逆时针规律，确定 时， 二文稳定平面。
图3.7 ， 与逆Nyquist曲线图交点
在workspace中，查找出三点虚部所对应的各 值，求出 、 、 ，补充一条 所对应的直线。
： 、 、
： =0
： =0.0495 +0.0125
： =0.0727 -0.0192
： =0.4333 +0.2013
图3.8 ， 二文稳定平面
由图所示，只有S1区域满足“逆时针规律”，即 时， 二文稳定平面。
3.5 时滞确定被控对象，PID控制器参数三文稳定空间
在 的稳定范围内，遍历 ，可获得时滞系统PID控制器参数稳域的三文空间。
例5： ，确定PID控制器参数稳定域三文空间。
增益 稳定范围为：(-0.20, 0.2052),以0.02为间隔，
=[0.2,0.18,0.16,0.14,0.12,0.10,0.08,0.06,0.04,0.02,0,-0.02,-0.04,-0.06,-0.08,-0.10,-0.12,-0.14,-0.16,-0.18]；
遍历 ，即可得到PID控制器参数稳定域三文空间。
图3.9 PID控制器参数稳定域三文空间
3.6 本章小结
本章首先说明了时滞系统稳定性的判据，对于确定的时滞系统，根据系统的频率特性，确定用于稳定性分析所需的频率范围 ，借助广义Hermite-Biehler定理，可在时滞确定对象的逆Nyquist图上确定 的稳定范围。当 一定时，利用逆时针规律，在 平面上，找出 稳定二文稳定平面，最后遍历 可以得出PID控制器参数的三文稳定空间。
4 时滞区间系统PID控制稳定性研究