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2.5.2 广义Kharitonov定理 （盒子定理）
广义Kharitonov定理（也叫盒子定理）是判断控制器镇定区间对象族的充要条件。Kharitonov顶点对象是由分子、分母多项式族的Kharitonov多项式构成的多项式的全体：
其中 ：类似地可以写出 ，
PID控制器能镇定顶点对象是指16个顶点多项式：
， ，
所有的顶点多项式都稳定，这是PID控制器镇定区间对象族的必要条件。即区间多项式是否具备稳定性，可完全由这16个Kharitonov顶点分子分母多项式的稳定性所确定。
2.6 本章小结
本章首先介绍了PID控制器及参数对控制系统的影响。在明确了稳定性的理论概念以后，我们寻求稳定域的稳定性判据，利用Hermite-Biehler定理针对多项式是否为Hurwitz多项式的判定提供了充分必要条件。而对于区间多项式Kharitonov定理说明了保证几个特殊顶点多项式的稳定性即可保证某一族多项式的稳定性，进一步对于区间系统，以广义Kharitonov定理为判据，为下文的研究提供了重要指导。
3 时滞确定系统PID控制稳定性研究
3.1 引言
本章确定PID控制器参数稳定域的基本思路是首先对于固定的被控对象由逆Nyquist图法确定 的稳定范围，在 一定的条件下，利用“逆时针规律”确定 二文空间的平面稳定域，最后通过遍历 ,得出 - - 三文稳定空间。
3.2 稳定性判据
一般的时滞系统特征方程为：
（4）
其中， 、 , 是具有实参数的多项式。
假设1 和 ＜ ， ；
＜ ＜ ＜ ＜ ， 和 对于所有的 是互质的多项式。
考虑下面的多项式：
因为 没有有限的零点， 的零点就等于 零点。因而，特征方程 的稳定条件是 的零点位于左半平面。以下给出文献[11]关于 稳定的充分必要条件(广义Hermite-Biehler定理)。
引理 1 将 代入 ，有：
式中， 和 分别表示 的实部和虚部。在假设1条件下， 稳定当且仅当满足以下两个条件：1) 和 只有实根，且它们的实根是交错的；2) 存在 在 区间使 ＞ ，其中， 和 分别是 和 的一次导数。
引理 2 设 和 分别为 中 和 的最高指数。若存在一常数 ，使得当 时， 和 的最高次系数在 时不为0，那么 或 仅有单实根的充分必要条件是：存在足够大的 ，对于 ，使 和 恰好有 个实根。
3.3 增益 的稳定范围
确定PID控制器的三文稳定空间，首先需要确定比例增益的范围，以便能有效地遍历增益 。
PID控制下时滞系统的特征方程为：
（5）
由文献[13]可知，时滞系统在PID控制下，稳定的必要条件是 的 阶导数不包含右半平面零点。
因 ，所以必要条件就是多项式 不包含右半平面零点。
3.3.1 基于逆Nyquist图确定 稳定域
设 在左半平面和右半平面的零点个数分别为 、 。在 频率范围内，逆Nyquist曲线 横坐标为极值的点共有 个，其相应的横坐标为 ， ；各点所对应的PID增益为 ，且从小到大排列。其中 ， 为足够大的正整数， 一般取为 。 将PID比例增益分成若干区间，每个区间内曲线 与纵向直线的交点数是不变的。
根据文献[14]有下结论：
引理 3 时滞系统在PID控制下，任取一个 且 ＜ ＜ 。在逆Nyquist曲线 上， 所对应的 直线与 段逆Nyquist曲线 至少有 个交点，则 在( , )区间时系统是稳定的；否则在该区间系统一定不稳定。满足引理3，是系统在PID控制下稳定的必要条件。