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第五章 给出仿真示例验证算法的可行性，在此基础上，对于稳定区域中不同的参数点所对应的单位阶跃响应做出分析与比较。
2. 相关理论知识
2.1 引言
PID控制器具有结构简单，易于操作，鲁棒性强等优点，在系统控制中有着广泛的应用。本文研究的重点是确定PID参数的三文稳定域，即确定能够使系统稳定且鲁棒性较强的 、 、 参数的范围，这个工作在系统的控制过程中是十分有意义的。
本章首先介绍PID控制器的结构及工作原理，以李雅普诺夫稳定性理论为依据，明确了系统稳定性的概念，继而在此基础上介绍Hermite-Biehler定理及其推广。利用Kharitonov定理及广义Kharitonov定理，分析区间系统的稳定性判定。
2.2 PID控制器简介
2.2.1 PID控制器的基本结构
图2.1 PID控制器基本结构
该系统主要由PID控制器和被控对象组成，作为一种线性控制器，它根据设定值和实际输出值构成控制偏差，将偏差按比例、积分和微分通过线性组合成控制量，对被控对象进行控制。
控制器的输入输出关系可描述为：
，其中 为系统控制输入变量， 为系统输出变量， 为输出积分作用， 为系统输出微分作用， 、 、 分别为比例、积分和微分的增益，这三个参数的取值优劣将直接影响到PID控制系统的控制效果好坏。
2.2.2 PID控制器参数对控制性能的影响
（1）比例作用对控制性能的影响
比例增益的引入是为了及时地反映控制系统的偏差信号，一旦系统出现了偏差，比例调节立即产生调节作用，使系统偏差快速向减小的趋势变化。当比例增益 较大的时候，PID控制器可以加快调节，但同时过大的比例增益会使调节过程出现较大的超调量，从而降低系统的稳定性，在某些严重的情况下，甚至可能造成系统不稳定。因此选取合适的比例增益 是非常重要的 。
（2）积分作用对控制性能的影响
积分作用的引入是为了使系统消除稳态误差，提高系统的无差度，以保证实现对设定值的无静差跟踪。
（3）微分作用对控制性能的影响
微分作用的引入，主要是为了改善控制系统的响应速度和稳定性。微分作用能反映系统偏差的变化率，遇见偏差变化的趋势，因此能产生超前的控制作用。直观而言，微分作用能在偏差还没有形成之前，就已经消除偏差。因此微分作用可以改善系统的动态性能。
2.3 时滞系统稳定性原理
2.3.1 系统稳定性定义
本文所研究的是PID控制器参数稳定域，首先应该明确稳定性的科学含义。根据李雅普诺夫稳定性理论，系统的稳定性定义如下：若系统在初始扰动的影响下其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于平衡工作点，则称系统渐进稳定。
控制系统，被控对象和PID控制器的结构分别为：
；
；
该闭环系统的特征多项式为：
（1）
线性系统稳定的充分必要条件是：它的微分方程的全部根都是负实数或实部为负的复数，即全部根都位于复平面的左半面 。
2.3.2 时滞系统稳定性
在各种实际的工业系统中，时滞是一种较为普遍存在的现象。其存在是引起系统不稳定和性能劣化的主要原因。实际系统中存在的时滞现象主要来源于两个方面：一种是系统本身所固有的时间滞后现象，例如大型退火炉的炉温控制；另一种是由构成实际系统的器件装置所引起的时滞，例如由控制器、执行器和测量元件等引起的滞后。时滞的存在如同一把双刃剑，一方面时滞会对控制系统的性能产生某些不良的影响，甚至造成系统的不稳定；而在另一方面，实际生产中为了实现某种控制目的，而在系统中故意引入滞后的作用，使其对整个控制系统的控制起到良性的作用。因此，分析时滞现象对系统控制性能的影响，以及如何利用或消除这种影响一直是控制工程领域与控制理论所研究的热点。