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3.5 BCH码
3.5.1BCH码的基本原理
BCH码是一类重要的纠错码，它把信源待发的信息序列按固定的κ位一组划分成消息组，再将每一消息组独立变换成长为n(n>κ)的二进制数字组，称为码字。如果消息组的数目为M(显然M≤2),由此所获得的M个码字的全体便称为码长为n、信息数目为M的分组码，记为n，M。把消息组变换成码字的过程称为编码，其逆过程称为译码。
3.5.2 BCH码的编码
BCH码编码算法的核心就是找到其生成多项式g(x),而求g(x)的关键是找出每个根的最小多项式。
用软件实现的BCH码编码器中，编码算法的步骤如下:
(1) 根据用户输入的m值，生成本原多项式P(x);
(2) 构造有限域GF(2m);
(3) 根据用户输入的纠错能力t值，计算最小距离d=2t+1;
(4) 找出每个根的最小多项式 ，其中 ;
(5) 求出相应的生成多项式
(6) 进行编码
3.5.3 BCH码的译码
和一般循环码一样，译码的第一步是计算接收向量R（x）的伴随式。对于一个纠t个错误的BCH码，其伴随式是2t重向量。
令ai的最小多项式为mi（x），则有
一般地，设R（x）中有k个错误。且分别位于 ，即
式中， 为已知，而 未知。一旦求出 ，则他们的指数 将给出E（x）的错误位置。一般说来，对于给定的 ，方程组可能有多组解，每一组解对应一种可能的错误模式。但重量k≤t的错误模式是唯一的，这才是要寻找的解。当t的数值较大时，直接解方程组是比较困难的，于是人们在寻找各种有效的解法，每一种解法就是BCH码的一种译码算法。
令 l表示错误出现的位置，并称之为错位号。为方便，可表示成
这2t个方程是 的对称函数，习惯上称之为对称函数。为求解，特定义辅助函数：
（3-23）
的k个根 是错位号的逆，称 为错误位置多项式。于是，求错误位置问题就转化为求 的根。 的系数 是代求的，故 是一个未知多项式。由根与系数的关系有
（3-24）
被称为 的初等对称函数。由式（3-22）和（3-24）可知 由伴随分量所决定。事实上，他们的关系满足牛顿恒等式：
（3-25）
这样，当 已知，且又知道错误个数k，就可以确定 ，从而确定 。虽然实际中并不知道接收向量中的错误个数，但最小距离译码就是求重量最轻的错误模式，即求满足给定 的最低次多项式 。当k≤t时，结果是唯一的，因而可通过实验性迭代法决定相应的错误模式。
4 应用Matlab软件对线性分组码的仿真
4.1 简单重复码
一．最简单的一种线性分组码是简单重复码，在其中有两个消息要在一个二进制对称信道上传输，对这两个消息不用0和1传输，而是用由全0和1组成的两个序列来传输。这两个序列的长度选成某个奇数，其编码过程如下:
解码按照“简单多数表决”的方式解码；即，如果接收符号的大多数为1，解码器判决为1；如果多数是0，解码器判决为0.
如果接收到的传输符号至少有n+1/2个是错误的，那么就会发生差错。应为信道是具有交叉概率为 的二进制对称信道，差错概率就能表示为：