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式中， ，得到 。 与 应满足关系： （2-18）
故， ， 逼近 。
（4）设计窗口后得到的最终结果： 。
2.4 滤波的理论
离散时间的采样率能被任意改变，若使用内插和抽取组合。若想要得到新采样周期 ， 的内插，接着再按 抽取便可。若存在较大的中间变化在采样的速率上，且滤波是在较高的采样率上进行的话，则对处理速率的需求就会较高，通常情况下，现有的数字电路很难满足这样的需求。所以，想要尽可能降低样本的处理速率，就需要采用一些基本的多速率信号处理方法[18][19]。
2.4.1 滤波和增减采样互换定理
研究表明，很高的运算速率将被需要当 倍内插之后滤波，抽取模型中，要在抽样之前进行滤波，即低通滤波器仅在抽取因子的前面；在内插模型中，要在内插提速之后进行滤波，即低通滤波器仅在内插因子的后面。在这种情况下，需要在高速下进行这两个模型，于是滤波的难度和复杂度便提高了。为了简化，将滤波器移到抽取之后和内插之前的想法诞生了，滤波和减采样互换的框图如图2-10所示：
图 2-10 减采样的恒等系统
以下是上述框图两个恒等系统的证明：
（2-19）
（2-20）
把式2-19代入式2-20可得：
（2-21）
由 ，则式2-21可改写为：
（2-22）
以上是图2-10减采样恒等系统的证明。同样的恒等关系对于增采样同样适用，其系统框图如图2-11所示：
图 2-11 增采样的恒等系统
2.4.2 多相分解
多相分解的过程可由图2-12来表示：
图 2-12 利用 分量的滤波器 的分解
组子序列的叠加， 个依次延迟的序列值组成，这样一个序列的多相分解便有了。若在滤波器的单位脉冲响应上应用这一分解，则线性滤波器便可以更加有效的实现了。 ，将它分解为 ：
（2-23）
2.4.3 抽取滤波器结构
最为直接的抽取实现方式如图2-13所示，计算并且输出一次每个样本， 个输出点中保留其中一个。
图2-13 抽取系统
由上图得，那些将丢弃的值是不用计算的，所以可以应用一种更高效的方法来实现。众所周知基于分解便能实现滤波， 分解成不同相位的组，避免不必要的计算是滤波的本质，提高计算效率是滤波的目的。在完整的抽取结构中， 滤波器结构，其转移函数为：
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