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（2.7）
在弹性区采用广义胡克定理描述，根据弹性区响应通解[38]与边界条件 ， 可以得到弹性区响应的解析解：
（2.8）
式中 为Lame常数。
根据开裂区应力应变关系及弹性区与开裂区界面位移的连续性，可以得到弹性区与开裂区界面上的位移：
（2.9）
式中： 为弹性模量； 。
图2.1 空腔膨胀响应示意图
在未剪切饱和孔隙压实区内利用Mohr-Coulomb准则可将式（2.7）中的平衡方程变为：
（2.10）
式中： 。将未剪切饱和孔隙压实区的外侧边界条件 代入式（2.10）的通解可得到该区域的径向应力：
（2.11）
若 ，则 可以认为是空腔膨胀压力；若 ，那么可以根据Mohr-Coulomb屈服准则，得到未剪切饱和孔隙压实区内侧边界条件：
（2.12）
在剪切饱和孔隙压实区运用剪切饱和屈服准则，可将式（2.7）中的平衡方程变为：
（2.13）
孔隙压实区的两区域内的界面径向应力连续，即剪切饱和孔隙压实区外侧边界条件与未剪切饱和孔隙压实区内侧边界相同。因此将式（2.12）代入式（2.13）的通解，得剪切饱和孔隙压实区的径向应力：
（2.14）
若 ，则 为空腔膨胀压力；若 ，则根据剪切饱和屈服准则，可得到剪切饱和孔隙压实区内侧边界条件：
（2.15）
在密实区内，由于该区域处于完全剪切饱和状态，因而平衡方程也为式（2.15），外侧边界条件为式（2.15），将式（2.15）代入（2.13）的通解可得密实区的径向应力：
（2.16）
4）靶体阻力Rt
空腔表面的径向应力即为靶体阻力Rt，由上述分析可知，空腔膨胀响应与混凝土材料参数密切相关，同时还必须确定各区域的尺寸关系，由于各相邻响应区域半径间的关系的确定方法是相似的，因此此处以弹性区——开裂区——未剪切饱和区为例进行讨论。根据Mohr-Coulomb屈服准则、孔隙压实区的压力体积关系及未剪切饱和孔隙压实区径向应力式（2.11），可得
（2.17）
式中： 是未剪切饱和区的密度。将式（2.17）代入式（2.7）质量守恒方程并在 区间积分，结合边界条件 和（2.9），可得：
（2.18）
将式（2.18）中 的数值解代入式（2.13）即可求得空腔膨胀压力。
代入混凝土材料参数，计算得到混凝土的靶体阻力 。
2.4 刚体侵彻过程的理论分析
对于弹丸的高速侵彻过程，简单的分析模型包括侵彻方程及受力模型。假定弹丸在侵彻过程中为刚性，弹丸的运动方程满足牛顿第二定律：
（2.19）
其中： 为时间； 是弹丸速度； 是作用在弹丸上的阻力。问题的关键是求解侵彻过程中的阻力 ，空腔膨胀理论给出了相应的求解方法。
2.4.1 空腔膨胀理论及相关求解
1） 空腔膨胀理论
空腔膨胀理论分柱型空腔膨胀理论和球型空腔膨胀理论两种。柱型空腔膨胀理论（CCET）认为：弹丸在靶体中形成的孔道是靠挤压靶体材料而形成的，假设弹丸垂直侵彻靶体时，弹体不变形，靶体是均匀半无限厚靶，靶体中的响应是轴对称的；球型空腔膨胀理论（SCET）的基本出发点是建立在由一文解叠加来代替三文问题的解，认为弹丸在靶体中的孔道由始发于弹尖的、从初始零半径开始膨胀的一系列空腔，由挤压靶体材料而形成，弹体侧表面每一点的压力与同空心球腔内表面上的压力相等，空心球腔内表面的压力可由一文求解得到，靶体的响应是球对称的。两者的侵彻模型[19]如图所示。
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