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自由振动系统的运动微分方程为： ，设其解为 ，其中s为待定系数。代入上式可得
因为 ，所以上式在任意时刻t均成立的条件为 ，该方程即为上式特征方程，它的两个根为
由此可得，通解 。该式中，第一项 是单纯的时间指数衰减函数，但是括号内的项的特性则决定于根号中的数值是正、零还是负。
当阻尼项 大于 时，该式中的指数是实数，不可能产生振动；当阻尼项 小于 时，该式中的指数变成虚数 。因为
此时，通解括号中的项是振荡的，该类情况为阻尼振动。当括号内的项为零时的阻尼系数称为临界阻尼系数，记为 。令 ，则
式中， 为无阻尼系统的固有圆频率。
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