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2 有限元法基本理论及分析软件简介
2.1 有限元法简介
2.1.1 有限元法原理简介
有限元法的主要思想是通过离散化连续体的方法，把一个弹性连续体划分为有限大小的、彼此只在有限个点连接的有限单元组合体来研究，寻求适应控制方程并满足边界条件和连续条件的有效值方法。
有限元法的基本思想可归纳如下:首先将表示结构的连续体离散为若干个子域(单元)，单元之间通过其边界上的节点相连接成组合体，然后用每个单元内所假设的近似函数分片地表示全求解域内待求的未知场变量，每个单元的近似函数用未知场变量函数在单元各个节点上的数值和与其对应的插值函数表示。由于在连接相邻单元的节点上，场变量函数具有相同的数值，因而将它们用作数值求解的基本未知量，并且将求解原函数的无穷多自由度问题转化为求解场变量函数节点值的有限自由度问题，最后利用和原问题数学模型等效的变分原理或加权余量法，建立场变量的代数方程组或常微分方程组，再应用数值方法求解问题的精确解。[19]
有限元分析主要包括结构离散化和确定位移函数、单元特性分析、单元组集、求解未知节点位移和计算应力等内容。
(1)结构离散化和确定位移函数
把模型分成一个个的单元，成为结构离散化，单元之间以节点连接。首先建立单元的计算模型，然后根据单元的特性及要求，给出任一点的位移函数。
(2)单元特性分析
选择位移模式:在有限元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法;取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以在有限元法中位移法应用范围最广。当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可以把单元中的一些物理量如位移、应变和应力等由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。
分析单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等:找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步，此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。
计算等效节点力:物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替作用在单元上和力。
单元组集:建立单元之间的关系，以组集的形式体现。
求解未知节点位移:分析有限元平衡方程，给出约束条件，然后解方程。
计算应力:最后计算单元的的应力，得出结果。
2.1.2 有限元法的特点
(1)能够适应复杂的几何模型。因为单元的文数是不同的，而且不同的单元形状也不相同，例如三文单元可以是四面体、五面体或751面体，单元之间的连接方式也可能不同，因此，现实中的各种模型都能够用离散化的单元来解决。
(2)可以适应不同的物理问题。对于各种材料类型或受力情况，有限元都能很好的解决。
(3)建立于严格理论基础上的可靠性。因为有限元方程所依据的原理是有数学依据的，所以只要模型正确，就可以得到精确解。
(4)具有高效的计算。
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