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切换系统研究概况根据切换系统切换信号的不同性质一般将切换系统分为状态依赖型和时间依赖型两种不同的切换系统。状态依赖型的切换系统，顾名思义系统自身状态变量决定了系统的切换信号，整个状态系统空间通过切换信号将空间区分成很多块区域，切换系统中的每个子系统都对应着相应的区域。当系统发生切换的时候也就说明的状态轨迹正在从某个区域到达另一区域。同状态依赖型切换系统相似，切换信号由时间变量来控制的切换系统也就是时间依赖型切换系统，当时间到达设定的某一条件的时候，子系统之间发生切换。66198
对于切换系统的研究，最重要的就是对系统稳定性的研究，与一般系统相比，切换系统是由每一个子系统和切换律相结合的产物，所以不仅仅要研究单个的子系统的稳定性，更重要的还要考虑到当发生切换时相互子系统之间能否保证稳定。目前研究切换系统有两种最常用的研究方法，分别为Lyapunov函数方法和驻留时间法。
其中Lyapunov函数方法还分为两种，为公共Lyapunov函数方法和多Lyapunov函数方法。
（1）公共Lyapunov函数方法
公共Lyapunov函数方法即对于切换系统的所有的子系统存在一个共同的Lyapunov函数，使得对于任意的切换信号都可以得到
如果满足这样的条件则系统将是稳定的，这样的 函数就被称为公共Lyapunov函数。不过，利用公共Lyapunov函数在判定系统稳定性的方法在实际操作中存在一定的局限性。因为切换系统如果要存在一个公共的Lyapunov函数则每一子系统都要满足，这样的条件要求过于苛刻，往往都很难满足，有时甚至不存在这样的公共Lyapunov函数。但是，利用公共Lyapunov函数得出的系统稳定性条件的方法也有它自己的优点：第一，这样的条件求解起来非常简便，就不需要列出每一个子系统的Lyapunov函数；第二，它可以保证切换系统总能保持稳定，同时对切换信号无须特别的约束，因此系统性能可以通过进行切换而得到大幅度的提高，同时也不需要考虑系统会因为切换过程而导致系统失去稳定性。论文网
（2）多Lyapunov函数方法
多Lyapunov函数方法是特地从切换系统的自身特点出发的。Peleties 和DeCarlo 在文献[11]中引入了类Lyapunov函数的概念。它的具体意义是：切换系统的每一个子系统都有自己对应的连续可微的正定Lyapunov函数。如果同一个子系统下次被激活时的Lyapunov 函数初始值小于或等于上次被激活时的Lyapunov 函数初始值，整个系统的能量将至少不会呈现增加的趋势，同时在切换的两个子系统中，被切换的子系统的切换系统的Lyapunov 函数的末值要小于等于切换到子系统的Lyapunov 函数的初始值，那么这就是Lyapunov 意义下稳定的。文献[12]在Lyapunov 稳定性的基础上进一步论证了切换系统的渐近稳定性及指数稳定性。
当连续切换系统变为离散的切换系统的时候，类似多Lyapunov函数方法，Jamal和Jamal在文献[13]提出了切换Lyapunov函数[14]方法。本文后续研究就是基于这一种方法对系统进行的。
（3）驻留时间方法
时间依赖型的切换系统一般通过驻留时间方法来进行稳定性的分析。通过单个子系统都能保持稳定的情况，可以做出这样的大胆假设，如果可以在稳定子系统内维持的时间足够长，那么由于系统切换所造成的总的能量递增的趋势就会被消除，所以整个切换系统就一定会呈现能量衰减的趋势，因此系统在任意切换下就能保持稳定。由此，不难想到在每个稳定的子系统中所停留的时间应该有一个确定的下界值，从而确保整个系统的稳定性，通常称在每个子系统中停留的时间为切换系统的驻留时间[15]。基于这个思想，Morse 从数学上严格给出了每个子系统所应具有的最小驻留时间值[16]。Hespanha 改进了Morse 的方法：不需要每个子系统的驻留时间都有确定的下界值，某些子系统的作用时间可以小于这个值，只要各子系统的平均驻留时间不小于这个值，则切换系统是稳定的[17]。