matlab平面波展开法的二维光子晶体能带研究+程序(2)

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由上，大家开始根据现实需要来设计对我们有用的晶体，使它能够禁止某一频率范围的光进行传播，而又让另外的的频率范围的光可以传播，控制光传播的路径或者让光波限制在一个特定的区域。从资料上查询到，目前调节和控制光子能带结构的方法主要有两种。一是改变光子晶体组成材料介电常数；二是改变光子晶体晶格结构。相信不久的将来，这些研究会为人类更好的服务。由于光子晶格结构与通常晶格类似，描述晶体的许多概念都可以用在光子晶体上。例如，，光子晶体中散射体排列的具体形式称为光子晶体晶格。晶格的最小周期性单元称为原胞。除此之外，固体物理学中的Bloch函数、倒格子、布里渊区等都可以用来描述光子晶体。另外，人们也可以通过改变光子晶体中某一个或某一区域的组成材料，从而在光子晶体内引入缺陷，这样来改变光子晶体能带结构。这样的人为能动性更强，可操作空间更大。

光子晶体与通常晶体有许多的共同点，但是也存在很多不同的地方。例如，光子的运动服从麦克斯韦方程组；而电子的运动服从薛定谔方程。另外，电子之间是有很强的相互作用的，光子是不具有的。

1.2 光子晶体计算方法

目前要想对光子晶体进行计算主要有3种方法：时域有限差分方法和转移矩阵方法还有平面波展开法。本节将对这些方法进行简单介绍，会阐明选择平面波展开法的原因，也可以看出应用平面波展开法的优越性。

平面波展开法（简称：Plane．Wave Expansion Method，PWE方法），是目前应用比较广泛的计算光子能带结构的方法之一。根据光子晶体结构的周期性，只需对一个光子晶体原胞进行计算然后我们就可以得到整个光子晶体的能带结构。因此，这种方法高效简洁。首先把周期性的介电函数展开成傅立叶级数，把入射电磁波在倒易空间进行平面波展开，然后将得到两者的展开式代入光子晶体主方程，这样我们就可以得到矩阵形式的本征方程，最后根据矩阵的本征方程来编写程序，沿着不可约布里渊区边界计算方程的本真值，多次计算得出多次结果，将这些值连接成线，就可以得出光子晶体能带结构（又称光子晶体射散曲线）。总结来说，平面波展开法的特点：它能高效、比较准确的计算完整的周期性晶格结构的一维、二维、三维光子晶体能带结构。但对于周期性结构被破坏的光子晶体结构，平面波展开法这种方法没法计算。当然，现在如果结合超原胞技术，平面波展开法任然可以用来计算其能带结构。平面波展开方法以其计算周期短、容易实现计算机编程、对光子晶体物理本质的反映和较准确性成为目前应用比较广泛、比较重要的计算方法之一。

时域有限差分方法（简称：Fite．Differences Time-Domain Method，FDTD方法）也是一种重要的光子晶体计算方法。该方法是基于麦克斯韦方程组在有限空间的离散化得到差分方程，该方法计算量也系统大小成正比。然而这种计算方法忽略了光子晶体的周期性结构，所以能计算结构不限、任意缺陷、有限大小的光子晶体。它的缺点和有点相同，该方法对于周期性单元比较多的光子晶体计算效率很低，需要大量的计算资源才能够得到比较精确的结果，要求较高。转移矩阵方法(Transfer Matrix Methods，简称TMM方法)也是一种重要的光子晶体计算方法。能够用来计算二维或三维光子晶体。它的思想是，将光光子晶体划分成很多相互平行的层，将每一层两侧电磁场的关系列出矩阵方程。相邻两个层对应的矩阵方程也可以经过合并。这样不断的合并，直到矩阵方程能够表示整个光子晶体两侧的情况。实际上传输矩阵方法适合于计算复杂晶体结构的透射、反射系数，对物理概念理解帮助不是特别大。