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    当然，我们希望尽可能地用解析方法求解边值问题。而许多实际重要的工程问题都没有解析解。为了克服这种困难，人们已发展了各种近似方法，其中应用最广泛的是里兹方法和伽辽金方法。
    1.3.2里兹(Ritz)变分法[1]
    一种用变分表达式(泛函)来得到近似解的方法。这种方法将边值问题用泛函表示，泛函的极小值对应于给定边界条件下的控制方程的解。为了说明这种过程首先定义内积
                  =                               ( 2 )
    星号表示复数共轭。在这种内积定义下，如果有
                                            ( 3 )
    则表示（1）中的算符￡是自伴的，如果有
                                           ( 4 )
    则（1）式中运算符￡是正定的。可以证明。如果（1）式中运算符￡既自伴又正定，那么，（1）式的解可通过求下式泛函对  的极小值得到
    F( )=（<￡ , >/2）-(< , >)/2-(< , >)/2         ( 5 )
     表示试探函数。
    一旦确定了泛函，即可用下述步骤来解决，假定（5）式中的 近似展开为
                               ( 6 )
    其中， 是定义在全域上的展开函数，  是待定的展开系数，｛.｝表示列向量。上标T表示向量的转置。（6）带入（5）
    F=                 ( 7 )
    为了求F( )极小，我们令其对 的偏导数为0
                                                    ( 8 )
    可将其写成下列矩阵方程
                  [S]{c}={b}                             ( 9 )
       [s]的元素为
            =(1/2)                   ( 10)
         [b]的元素为
                                           ( 11)
    显然，[S]是对称矩阵。引用运算符￡的自伴性质，  可写成
                                             ( 12)
    求解矩阵方程（9）式，即可得到（1）式的解。
    1.3.3 伽辽金法[1]
    假定 是控制方程( 1)的近似解。将 代入式( 1)，由于与真实解之间存在误差，因此会得到一个非零余量
                                        ( 13)
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