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摘要:迭代法是求解线性方程组的主要方法之一。它的思想方法是：首先将线性方程组变形为某种迭代公式，再根据任意给定迭代初始值和迭代公式进行一步步迭代，通过逐步逼近的方式来得到方程组的解。本文首先介绍了求解线性方程组的定常迭代和不定常迭代的几种基本迭代方法，包括雅可比迭代法、高斯－赛德尔迭代、超松弛迭代法、最速下降法和共轭梯度法，其次给出了定常迭代法的一些收敛性定理，最后给出了几种迭代方法的Matlab程序，并运用这些程序来求解实际的例子。 32062
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毕业论文关键字：线性方程组；雅可比迭代法；高斯－赛德尔迭代法；超松弛迭代法；最速下降法；共轭梯度法
Iteration Method for Solving Linear Systems and the Application of Matlab
Abstract: The iteration method is one of the main methods to solve linear equations. The thought of iterating, firstly, is changing the linear equations into an iterative formula. In addition, using the arbitrary given initial values and the iterative formula to iterate. Then we get the solution of the equations by the way of approaching gradually. This paper introduced some elementary iteration methods of stationary iteration and nonstationary iteration firstly, like Jacobi iteration, Gauss-Seidel iteration, SOR iteration, steepest descent method, and Conjugate gradient method. Some convergence theorems of stationary iteration are given. Finally, it shown kinds of Matlab process and used them to solving practical questions.
Key words: Linear equations; Jacobi iteration; Gauss-Seidel iteration; SOR iteration; Steepest descent method; Conjugate gradient method
目录
1 引言 1
1.1 课题的目的和意义 1
1.2 国内外研究现状与发展趋势 1
2 定常迭代法 3
2.1 雅可比迭代法 4
2.2 高斯－赛德尔迭代法 4
2.3 超松弛迭代法 5
2.4 迭代的收敛性分析 6
2.5 实例 7
3 不定常迭代 9
3.1 最速下降法 9
3.2 共轭梯度法 10
3.3 实例 11
4 Matlab在定常迭代与不定常迭代中的应用 12
4.1 雅可比迭代法的程序 12
4.2 高斯-赛德尔迭代的程序 13
4.3 超松弛迭代的程序 13
4.4 最速下降法的程序 14
4.5 共轭梯度法的程序 14
4.6 Matlab实现的实例 15
4.6.1 定常迭代的收敛速度的比较 15
4.6.2 超松弛迭代法松弛因子的选择 16
4.6.3 不定常迭代的收敛速度的比较 18
参考文献 20
致谢 21
1 引言
1.1 课题的目的和意义
数值分析(numerical analysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。为计算数学的主体部分。它的主要内容有插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。数值分析这门学科有如下特点：面向计算机；有可靠的理论分析；要有好的计算复杂性；要有数值实验；要对算法进行误差分析。