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例：设 都是数域F上的有限文线性空间V上的子空间，若子空间的和 不是直和，则V的每个向量的表示法都不唯一
证明：设V中有向量 表为 ，且唯一表出
又设 ，则得
但 的表示法唯一，故 。
从而 ，即 唯一表出，所以 是直和，与假设矛盾。
引理1：设线性变换 的特征多项式为 ，它可分解成一次因式的乘积
，
则 可分解成不变子空间的直和
其中 。
2.2线性空间的同构
同构定义：实数域 上线性空间 与 称为同构，如果由 到 有一个双射 ，满足
这里 ，这样的映射 称为 到 的同构映射
引理2：设 是线性空间 的一组基，在该组基下， 中的每个向量都有确定的坐标，向量的坐标可以看成 中的元素。换句话说，向量与它的坐标之间的对应就是 到 的一个同构映射。因而，数域 上任一个 文线性空间都与 同构。