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2.2.2 优化设计的数学模型
优化设计有三要素，即计变量、目标函数和约束条件。设计变量是在优化过程中发生改变从而提高性能的一组参数。目标函数就是要求的最优设计性能，是关于设计变量的函数。约束条件是对设计的限制，是对设计变量和其他性能的要求。
优化设计的数学模型可表示为：
最小化（Minimize）: f(X) = f(x1,x2,…xn)
约束条件（Subject To）: gj(x)≤0 j = 1, …,m
hk(X)=0 k = 1, …,mh
xLi≤xi≤xUi I = 1, …,n
式中，X=x1,x2,…xn是设计变量；f(X)是目标函数；g(X)是不等式约束函数；h(X)是等式约束函数；上角标L指的是Lower Lmit,即下限；上角标U指的是Upper Limit，即上限。
2.2.3 OptiStruct结构优化方法简介
本课题的优化部分的工作是通过Hyperworks中自带的结构优化工具OptiSruct实现的。OptiSruct是以有限元法为基础的结构优化设计工具。它提供拓扑优化、形貌优化、尺寸优化、形状优化、以及自由尺寸优化和自由形状优化，这些方法被广泛应用于产品开发过程的各个阶段。
（1）概念设计优化。用于概念设计阶段，采用拓扑、形貌、和自由尺寸优化技术得到结构的基本形状。
（2）详细设计优化。用于详细设计阶段，在满足产品性能的前提下采用尺寸、形状、和自由形状优化技术改进结构。
OptiSruct提供的优化方法可以对静力、模态、屈曲、频响等分析过程进行优化，其稳健高效的优化算法允许在模型中定义成千上万个设计变量。设计变量可取单元密度、节点坐标、属性（如厚度、形状尺寸、面积、惯性矩等）。此外，用户也可以根据设计要求和优化目标，方便地自定义变量。OptiSruct允许在有限元分析时使用多个结构响应，用来定义优化的目标或约束条件，常见的结构响应包括位移、速度、加速度、应力、应变、特征值、屈曲载荷因子、结构应变能，以及各响应量的组合等。
2.2.4 OptiSruct迭代算法
OptiSruct采用局部逼近的方法来求解优化问题。局部逼近法求解优化问题步骤如下：
（1）采用有限元法分析相应物理问题。
（2）收敛判断
（3）设计灵敏度分析。
（4）利用灵敏度信息得到近似模型，并求解近似优化问题。
（5）返回第一步。
这种方法用于每迭代步设计变量变化很小的情况，得到的结果为局部最小值。设计变量的最大变化一般发生在最初的迭代步中，此时没有必要进行太多的近似分析。
在结构优化设计计算中，设计变量结构响应的灵敏度分析是从简单的设计变化到数学优化过程中最为重要的一部分设计变量更新采用近似优化模型的方法求解，近似模型利用灵敏度信息建立。
OptiSruct采用三种方法建立近似模型：最优化准则法、对偶法和可行方向法。后两者都基于设计空间的凸线性化：
（1）最优化准则法用于典型的拓扑优化问题，目标表达为最小化应变能（或频率倒数、加权应变能、加权频率倒数、应变能指标等），约束表达为质量（体积）或质量（体积）分数。
（2）对偶法和可行方向法的采用取决于约束和设计变量的数目，有OptiSruct自动选择。当设计变量数超过约束的数目（一般在拓扑优化和形貌优化中），对偶法较有优势。可行方向法则刚好相反，多用于尺寸优化和形状优化中。
OptiSruct中用到两种收敛准则，即规则收敛与软收敛，满足一种即可：
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