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（2.1.2.9）
2.1.3 能量守恒方程
N-S方程组能量方程的积分形式：
（2.1.3.1）
由热力学第一定律，对确定的流体其总能量的时间变化率等于单位时间内外力对它所做的功和所传的热之和：
（2.1.3.2）
取有限控制体，设流体微元 所具有的单位质量流体总能为E，有：
（2.1.3.3）
其中 为动能， 为热力学内能， 为势能。则 域内的总能量为：
（2.1.3.4）
包括有热辐射和热传导，表示如式（2.1.3.5）：
（2.1.3.5）
其中 。等式右边第一项中q是单位时间单位质量由于热辐射或流动伴有燃烧、化学反应等产生的能量；第二项是越过表面S热传导的单位时间给 域内流体的热量，以流体吸热为正，T为温度，k是热传导系数。
是单位时间内外力对 域流体所做的功，如果 域内没有其他物体，则 包括体积力、表面力和黏性力所做的功，表示为：
（2.1.3.6）
由能量守恒定律可得积分形式的能量方程为：
本文中的流体没有热辐射，且不考虑体积力，化简可得：
2.1.4 黏性项处理
在流场内取有限控制体，设某一微元体如图2.1所示， 和 是垂直于x轴的外表面上的和应力。
图2.1 流体微元体应力图
作用在垂直于x轴的微元面上的表面力的合力为 。同理作用于垂直于y轴、z轴微元面上的表面力的合力分别为 和 。则作用于单位体积流体的表面力的和应力为：
（2.1.4.1）
将 、 和 沿坐标方向分解，分解为正应力和切应力：
作用于微元体表面的应力共有九个分量，这九个分量就组成应力张量：
令 ， ， 由黏性力的计算公式可得
由黏性力做功公式可得：
2.1.5 N-S方程组
综上所述，将质量方程、动量方程和能量方程组合起来得到了本文所用的Navier-Stokes方程组，在笛卡尔坐标系下，积分形式的N-S方程组表达式简写如下：
式中 为控制体体积， 为控制体表面， =（nx，ny，nz）为 表面的外法向单位矢量，dS为面积分的微元。 ， ， 分别为守恒变量、对流通量和粘性通量。 、 和 分别为笛卡尔坐标系中的三个分量， 为时间。 为速度矢量， 为流体的密度， 为单位质量总能， 为单位质量总焓， 为压强。 为应力张量， 为粘性应力和流体热传导的组合项,由牛顿流体应力与应变的关系，可得表达式分别如下：
其中T为温度， 为动力学粘性系数， 为第二粘性系数， 为热传导系数。
由Stokes假设得到， 和 之间的关系为：
在粘性流体的计算时，在考虑流场湍流效应时，湍流效应用湍流粘性系数和湍流热传导系数来模拟。考虑湍流时粘性通量项中的粘性系数和热传导系数为:
其中 ， ， ， 分别为层流、湍流的粘性系数和层流、湍流的热传导系数。湍流粘性系数由Spalart-Allmaras湍流模型确定。层流的粘性系数可由Sutherland公式得到：
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