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摘 要：容斥原理是组合数学的一个基本定理．本文研究了广义概率测度集上如果事件的容斥原理．并证明了相关的基本定理．3665
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１．引言
设 表示一个 (柯尔莫戈洛夫)概率空间． 是一个抽象集， 是 的一个 代数子集．图 是一个概率测度．如果 ，…， 是 中任意元素的集，其中 ，则
Atanassov 介绍了如果事件的定义．Atanassov的理论适用于如果事件，即有一对 使得 ， ， 是 可测量的．用 表示所有如果事件的集，对概率论取决于用于对相应的概率测度的可加性的定义的连接词．我们将使用Lukasiewicz 连接词
和G¨模型的连接词 ， ；最终乘积的连接词
．
我们将使用由ciungu Rieˇcan[2]给出的表述定理，此定理是Petroviˇcov´a Rieˇcan [3]的推广．这里，概率测度 由以下公式表示
．
F上的Grzegorzewski的概率可由特殊值 求得，则
．
Grzegorzewski [4]用F上的二进制运算的两种可能性推广了F上的容斥原理的可能版本．
本文阐述和证明了F上的容斥原理的一些可能性，和以Lukasziewicz’s，G¨odel’s为依据的三种类型的二元运算乘积的连接词．
2．如果事件的可能性
如果假设是模糊集的一种自然推广本文来自751\文(论"文?网，毕业论文 www.751com.cn．
定义1．如果假设有一对函数 使得 且 ．如果图 是可测的，则这对函数 叫做如果事件．
假设 ．
定义2．如果假设上的可能事件 定义如图 满足如下条件：
(i) ，
(ii) ，
(iii)如果 则 ，
二元运算 基于任意双 模．
注意1． 是R上的一个紧凑区间．易得主要结果可以表述成图 ．
定义3．在 规定下的任何函数满足如下性质
(i) ，
(ii)如果 ，则 ，
(iii)如果 ，则 ．
定理1．给出图 ，设 由如下公式规定
．
是一个概率事件当且仅当 被定义．
证明．见[2]．
在计算概率如果事件时我们运用区间算术
定理2．设 是一个概率测度．则存在 概率测度 和常数 使得
证明．见[3]．
２．如果事件的容斥原理
3．1． G¨odel连接词．我们使用运算
定理3．对于任意的 ，这里使
．
证明．它满足定理2和等式 ．本文来自751\文(论"文?网，毕业论文 www.751com.cn
3．2．Lukasziewicz连接词． 我们定义运算
定理4．对于任意 ，这里有
证明．它满足定理2和等式
证明．它满足定理和等式
证明．它满足定理2和等式
3．3．乘积的连接词． 我们使用运算
定理5．对于任意的 ，使得
证明．它满足定理2和等式
参考文献
[1] K． Atanassov， Intuitionistic Fuzzy Sets． Theory and Application， Physice Verlag (New York， 1999)．
[2] L． Ciungu and B． Rieˇcan， General form of probability on IF-sets， in: Fuzzy Logic and Applications， Proc． 8th Int．Workshop WILF 2009，Lecture Notes in Artificial Intelligence (2009)， pp． 101–107．
[3] B． Rieˇcan and J． Petroviˇcov´a， On the Lukasiewicz probability theory of IF -sets， Tatra Mountains， Math． Publ．， 46 (2010)， 125–146．
[4] P． Grzegorzewski， The inclusion-exclusion principle for IF-events， in: Information Sci- ences， 181 (2011)，536–546．