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在上面的真个简单式子中a 是待定的系数，fn(z′) 是我们算子域内的基函数。N是正整数，它的大小由精确度来进行确定。现在我们将f( z′) 的近似表达式代入算子方程的左端，所得
an L[fn(z′)] ≈g(z) (2.1.9)
因为f( z′) 是近似式，故算子方程的左侧的近似值与右侧实际值 间有着如下的一些关系：
ε(z)= an L[fn(z′)]-g(z) (2.1.10)
ε(z) 称为余量或残数。
<ε(z),Wm> ,( m=1, 2, ..., N) (2.1.11)
我们看到（2.1.11）中Wm 是权函数序列，我们很清楚的知道此乃加权余量法。我们把(2.1.11)展开就成了矩量方程。然而所谓的内域基，就是说基函数fn一定得在算子L的定义域里进行选取且要满足边界条件。
矩量法是一种统一的方法来解决数字字段的问题，对于L(f)=g解，组合成一个统一的解决方案的过程，它包括三个基本的解决方案的过程。
(1) 离散化过程
这个过程的主要目的是使操作方程化为代数方程，其具体步骤如下：
1.在L定义域中选择一组基函数f1,f2, ,..., , fn
2.f( x) 是该组基函数的线性组合，然后我们取有限的相近项，即：
f( x) = anfn≈f N (x)= an fn (2.1.12)
3.将式(2.1.1)代入式(2.1.12)中，根据算子的线性，将它的方程化为代数方程，即：
anL(f)=g 源-自/751+,论^文'网]www.751com.cn ( 2.1.13)
(2) 取样检验过程
这一过程的基本步骤为：
1. 在值域内选择一组检验函数Wm ,它们相互此线性无关。
2. 使Wm 与( 2.1.13)取内积并且进行抽样和检验，由于要确定N个未知，那就要求我们进行N次抽样与检验，则
<L(fn), Wm>=<g, Wm> (m= 1, 2, ...,N ) ( 2.1.14)
3. 根据算子所具有的线性内积性质，将上面( 2.1.14)式转化成矩阵方程，即
an<L(fn), Wm>=<g, Wm> ( m=1, 2, ..., N) ( 2.1.15)
将它写成矩阵形式
[Ln m]=[an]=[gn] ( m=1, 2, ..., N) ( 2.1.16)
式中
[an] = [gm]= ( 2.1.17)
[lmn]= ( 2.1.18)
于是，求解代数方程的问题转化为求解矩阵方程的问题。
(3) 矩阵的求逆过程
转化成了矩阵方程之后，我们就可以用普通矩阵求解或者求逆矩阵的方法求到矩阵方程的解
[an]= [Ln m]-1[gm] ( 2.1.19)
式中[Ln m] -1 是矩阵[Ln m] 的逆矩阵。将求得的展开系数an代入到式( 2.1.19)中，从而解得式( 2.1.20)的解
f(x) ≈ an fn(x) ( 2.1.20)
上面所介绍的就是我们使用矩量法求解算子方程的基本原理与方法，一般来讲我们都要遵循这个步骤来进行矩量法的一些实际的运用。
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