图2-1矩形窗的时域及频域波形
(2) 三角窗是幂窗的一次方形式,其函数形式是:
(2.9)
三角窗与矩形窗比较,主瓣宽约等于矩形窗的两倍,但旁瓣小,而且无负旁瓣,如图2-2所示。
图2-2三角窗的时域及频域波形
(3) 汉宁(Hanning)窗
汉宁窗又称升余弦窗,其时域表达式为:
由此式可以看出,汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和,或者说是 3个 sin(t)型函数之和,而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了 π/T,从而使旁瓣互相抵消,消去高频干扰和漏能。可以看出,汉宁窗主瓣加宽并降低,旁瓣则显著减小,从减小泄漏观点出发,汉宁窗优于矩形窗。但汉宁窗主瓣加宽,相当于分析带宽加宽,频率分辨率下降。
(4) 海明(Hamming)窗
海明窗也是余弦窗的一种,又称改进的升余弦窗,其时间函数表达式为:
海明窗与汉宁窗都是余弦窗,只是加权系数不同。海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小。分析表明,海明窗的第一旁瓣衰减为-42dB。海明窗的频谱也是由3个矩形窗的频谱合成,但其旁瓣衰减速度为20dB/(10oct),这比汉宁窗衰减速度慢。海明窗与汉宁窗都是很有用的窗函数。
(5) 高斯窗
高斯窗是一种指数窗。其时域函数为:
(2.14)
式中a为常数,决定了函数曲线衰减的快慢。a值如果选取适当,可以使截断点(T为有限值)处的函数值比较小,则截断造成的影响就比较小。高斯窗谱无负的旁瓣,第一旁瓣衰减达一55 dB。高斯窗的主瓣较宽,故而频率分辨率低。高斯窗函数常被用来截断一些非周期信号,如指数衰减信号等。不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的,这主要是因为不同的窗函数,产生泄漏的大小不一样,频率分辨能力也不一样。信号的截断产生了能量泄漏,而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应,从原理上讲这两种误差都是不能消除的,但是我们可以通过选择不同的窗函数对它们的影响进行抑制。图2-3是几种常用的窗函数的时域和频域波形,其中矩形窗主瓣窄,旁瓣大,频率识别精度最高,幅值识别精度最低;布莱克曼窗主瓣宽,旁瓣小,频率识别精度最低,但幅值识别精度最高。
对于窗函数,还有一些要求:
1)3dB带宽B,它是主瓣归一化的幅度下降到-3dB时的带宽。当数据长度为N时,矩形窗主瓣两个过零点之间的宽度为4π/N。
2)最大边瓣峰值A(dB)。
3)边瓣谱峰渐进衰减速度D(dB/cot)。
所以,理想的窗函数应当具有最小的B和A,和最大的D。
2.2 频率采样法
2.2.1 频率采样法原理
窗函数设计法是从时域出发,把理想的hd(n)用一定形状的窗函数截取成有限长的h(n),来近似理想的hd(n),这样得到的频率响应 逼近于所要求的理想的频率响应 。频率抽样法则是从频域出发,把给定的理想频率响应 加以等间隔抽样得到 ,然后以此 作为实际FIR滤波器的频率特性的抽样值H(k),即
(2.15)
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