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如果存在集合I,J⊂E，对于x∈I,有惟一确定的y∈J,使得(x,y)∈E,且满足方程（1），则称方程（1）确定了一个定义在I上，值域含于J的隐函数.若把它记为
y=f(x) ,x∈I,y∈J,
则成立恒等式
F(x,f(x))≡0 ,x∈I.
1.2 隐函数存在定理 若函数F(x,y)满足下列条件：
（i） F在以P_0 (x_0,y_0)为内点的某一区域D⊂R^2上连续，
（ii）F(x_0,y_0 )=0(通常称为初始条件)，
（iii）F在D内存在连续的偏导数F_y (x,y),
(iv) F_y (x_0,y_0≠0.
则
1^∘ 存在点P_0的某领域U（P_0)⊂D,在U(P_0 )上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间（x_0-α,x_0+α）上的（隐）函数y=f(x),使得当x∈(x_0-α,x_0+α)时，（x,f(x)）∈U(P_0),且F(x,f(x)≡0,f(x_0 )=y_0；
2^∘ f(x)在（x_0-α,x_0+α）上连续.
1.3 隐函数可微性定理 设F(x,y)满足隐函数存在惟一性定理中的条件（i）——（iv），又设在D上还存在连续的偏导数F_x （x,y）,则由方程（1）所确定的隐函数y=f(x)在其定义域（x_0-α,x_0+α）上有连续导函数，且
f^' (x)=-(F_x (x,y))/(F_y (x,y)).
1.4 隐函数组定理 若
（i）F(x,y,u,v)与G(x,y,u,v)在以点P_0 (x_0,y_0,u_0,v_0)为内点的区域V⊂R^4上连续，
(ii)F(x_0,y_0,u_0,v_0 )=0,G(x_0,y_0,u_0,v_0 )=0(初始条件)，
（iii）在V上F,G具有一阶连续函数偏导数，
（iv）J=(∂(F,G))/(∂(u,v)) 在点P_0不等于零，
则1^° 存在点P_0⊂V,在U(P_0)上，方程组{█(F(x,y,u,v)=0,@G(x,y,u,v)=0,)┤ (1)惟一性地确定了定义在点Q_0 (x_0,y_0)的某一（二文空间）领域U(Q_0)上的两个二元隐函数
u=f(x,y), v=g(x,y),
使得
〖 u〗_0=f(x_0,y_0 ) ,v_0=g(x_0,y_0 ) ，且当（x,y）∈U(Q_0)时
(x,y,f(x,y)g(x,y))∈U(P_0),
F(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0,
G(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0,
2^° f(x,y) ,g(x,y)在U(Q_0)上连续；
3^° f（x,y） ,g(x,y）在U(Q_0)上有一阶连续偏导数，且
∂u/∂x=-1/J (∂(F,G))/(∂(x,v)), ∂v/∂x=-1/J (∂(F,G))/(∂(u,x)),
∂u/∂y=-1/J (∂(F,G))/(∂(y,u)), ∂v/∂y=-1/J (∂(F,G))/(∂(u,y)).
2．隐函数存在定理的推广
2.1 解析函数隐函数存在定理的推广
二元函数F(z,w)在区域K:|z|≤r,|w|≤d上解析是指F(z,w)能在K上展为收敛的幂级数F(u,v)≤∑_(i+j≥0)▒a_ij u^i v^j 记M=m_G ax|F(u,v)则|a_ij |≤M/(r^i d^j ) ,i+j≥0.
定理2.11 设F(u,v)在（u,v）=(0,0)解析，满足F(0,0)=0,F_v^‘ （0，0）≠0，则存在W>0及|u|<W上的解析函数v(u)使得{█(F(u，v（u）)=0@v（0）=0) ，|u|<W┤.