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由引理1我们可以直接得出下面的定理. 来.自/751论|文-网www.751com.cn/
定理 数域 上 阶矩阵 可对角化的充要条件是：
1) 矩阵 的每一个特征根都在数域 上；
2) 对 的任一个特征根 ,均有 ,其中 的重数.
条件（2）等价于 的每一个特征值 的重数等于其所对应的特征向量的个数.
条件（2）等价于 的每个特征根的重数之和是 ,也就是说属于 的不同特征值的特征向量的总数是 .
例1 设
判断 是否可以对角化？
解 的特征多项式为
则 的特征值为 、 .
对特征值 ,解方程 ,得
,
它的基础解系为
.
对特征值 ,解方程 ,得
,
它的基础解系为
.
因此特征值 有两个线性无关的特征向量, 特征值 有一个特征向量.依据定理2知,矩阵 可对角化.
定理 数域 上 阶矩阵 可对角化的充要条件是 的最小多项式无重根.
证明 必要性 因为 可对角化,则有可逆矩阵 使