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    函数,称为 在 上的导函数,也称为导数.记作 、 或 ,即

     , (4)几何意义[3] 

        函数 在点 的切线斜率 正是割线斜率在 时的极限,即  

     由导数的定义, ,所以曲线  在点 的切线方程是 

    也就是说:函数 在点 的导数 是曲线 在点 处的切线斜率.

        若 表示这条切线与 轴正向的夹角,则 

    (1)   ,切线与 轴正向的夹角为锐角.

    (2)   ,切线与 轴正向的夹角为钝角.

    (3)   ,切线与 轴平行.

        利用导数可以求函数的极值以及最值,为了方便使用,下面我们给出一些极值判别条件.

    3 极值的判别条件

    引理1[4](费马定理)  设函数 在点 的某领域内有定义,且在点 可导.若点 为 的极值点,则必有

     命题1[4](极值的第一充分条件) 设 在点 连续,在某邻域 内可导.

    (i) 若当 时 ,当 时 ,则 在点 取得极小值.

    (ii) 若当 时 ,当 时 ,则 在点 取得极大值.

    命题2[4](极值的第二充分条件) 设 在 的某邻域 内一阶可导,在 处二阶可导,且 , .

    (i) 若 ,则 在 取得极大值.

    (ii) 若 ,则 在 取得极小值.

    例[3]:求 的极值点与极值.

    解析  当 时, .令 ,求得稳定点 

    又因  所以由命题2知, 为 的极小值,极小值 

    下面我们来看导数在近几年高考试题中的应用.

    4 导数在高考中的应用

    近几年应用导数求解极值、最值已成为高考热点问题.在高考试卷中每年大约有 的这方面的题目.基于导数在高考数学中的突出性,下面我们来探究在高考中导数的一些有关极值、最值、不等式的应用. 源'自:751`!论~文'网www.751com.cn

    首先了解一下什么是最值,极值与最值有什么关系?

    极值与函数在闭区间端点的函数值中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 下面就来利用导数的单调性求最值:

    4.1利用导数的单调性求最值

    例1 (2011.江苏高考卷) 已知 , 是实数,函数 ,  , 和 是 和 的导函数. 若在区间 上恒成立,则称 和 在区间 上单调性一致.

  1. 上一篇:若干积分不等式的推广及应用
  2. 下一篇:函数最值的求法研究
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