函数,称为 在 上的导函数,也称为导数.记作 、 或 ,即
, (4)几何意义[3]
函数 在点 的切线斜率 正是割线斜率在 时的极限,即
由导数的定义, ,所以曲线 在点 的切线方程是
也就是说:函数 在点 的导数 是曲线 在点 处的切线斜率.
若 表示这条切线与 轴正向的夹角,则
(1) ,切线与 轴正向的夹角为锐角.
(2) ,切线与 轴正向的夹角为钝角.
(3) ,切线与 轴平行.
利用导数可以求函数的极值以及最值,为了方便使用,下面我们给出一些极值判别条件.
3 极值的判别条件
引理1[4](费马定理) 设函数 在点 的某领域内有定义,且在点 可导.若点 为 的极值点,则必有
命题1[4](极值的第一充分条件) 设 在点 连续,在某邻域 内可导.
(i) 若当 时 ,当 时 ,则 在点 取得极小值.
(ii) 若当 时 ,当 时 ,则 在点 取得极大值.
命题2[4](极值的第二充分条件) 设 在 的某邻域 内一阶可导,在 处二阶可导,且 , .
(i) 若 ,则 在 取得极大值.
(ii) 若 ,则 在 取得极小值.
例[3]:求 的极值点与极值.
解析 当 时, .令 ,求得稳定点
又因 所以由命题2知, 为 的极小值,极小值
下面我们来看导数在近几年高考试题中的应用.
4 导数在高考中的应用
近几年应用导数求解极值、最值已成为高考热点问题.在高考试卷中每年大约有 的这方面的题目.基于导数在高考数学中的突出性,下面我们来探究在高考中导数的一些有关极值、最值、不等式的应用. 源'自:751`!论~文'网www.751com.cn
首先了解一下什么是最值,极值与最值有什么关系?
极值与函数在闭区间端点的函数值中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 下面就来利用导数的单调性求最值:
4.1利用导数的单调性求最值
例1 (2011.江苏高考卷) 已知 , 是实数,函数 , , 和 是 和 的导函数. 若在区间 上恒成立,则称 和 在区间 上单调性一致.