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目 录
摘 要 1
引言 1
1. 函数项级数的几个概念 3
1.1 函数项级数的收敛性 3
1.2函数项级数的一致收敛性 3
1.3幂级数的定义 3
2. 函数项级数的收敛性判别法 3
2.1 一致收敛的柯西准则 3
2.2 确界判别法 4
2.3 魏尔斯特拉斯判别法 4
2.4 阿贝尔判别法 4
2.5 狄利克雷判别法 4
3. 函数项级数的应用 5
3.1 函数项级数在数学分析中的应用 5
3.2 函数项级数在复变函数中的应用 10
3.3 函数项级数在微分方程中的应用 10
3.4 幂级数在生活中的应用 11
结束语 12
参考文献 14
致谢 15
函数项级数的收敛性判别法和应用
1. 函数项级数的几个概念[1]
1.1 函数项级数的收敛性
定义1 设
（1）
定义在 上的函数项级数，若 ,数项级数
（2）
收敛,即部分和 ,当 时极限存在,则称级数(1)在点 收敛, 称为级数(1)的收敛点.
1.2函数项级数的一致收敛性
定义2 函数项级数一致收敛的定义
设 是函数项级数 的部分和函数列,若 在数集 上一致收敛于 ,则称 在 上一致收敛于 .若 在任意闭区间 上一致收敛,则称 在 上内闭一致收敛.
1.3幂级数的定义
定义3 由函数序列 所产生的一类函数项级数.
（3）
我们把这类函数项级数称为幂级数, 是任意给定的实数, 称为该幂级数的系数.
我们所讨论的幂级数多数是在 时的情况,即
（5）
2. 函数项级数的收敛性判别法[2]
2.1 一致收敛的柯西准则
函数项级数 在数集 上一致收敛的充要条件为:对任给的正数 ,总存在某正整数 ,使得当 时,对一切 和一切正整数 ,都有
,
或 .
2.2 确界判别法
函数项级数 在数集 上一致收敛的充要条件是
,
其中 ,
称为函数项级数 的余项.
2.3 魏尔斯特拉斯判别法
设函数项级数 定义在数集 上, 为收敛的正项级数,若对一切 ,有
，
则函数项级数 在 上一致收敛.
2.4 阿贝尔判别法
定义在区间 上的函数项级数
（6）
设 在区间 上一致收敛;
对每一个 , 是单调的;