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（2）
那么称这个极限为反常函数 在 上的反常积分，记作
（2,）
并且称为反常积分 是收敛的。如果上述极限（2）不存在，那么这时我们也说反常积分 是发散的。
在上述的定义中，如果被积函数 在点 近旁是无界的，那么点 称之为函数 的瑕点，而该无界反常积分 我们又称其为瑕积分。
2.2 无穷积分的性质
以下定理2.3，2.7和性质2.4，2.5,2.6以及推论2.8出自高等教育出版社出版的第四版《数学分析》上册。
定理 2.3 无穷积分 收敛的充要条件是：任给 ，存在 ，只要 ，便有
通过对比研究函数极限的性质与积分定义的性质，我们可以得出以下的结论。
性质 2.4 若 与 都收敛， 为任意常数，则 也收敛，且
性质 2.5 若 在任何有限区间 上可积， ，则 与 同敛态（即同时收敛或同时发散），且有
其中右边第一项是定积分。
性质 2.6若 在任何有限区间 上可积，并且有 收敛，则 亦必收敛，并有
定理 2.7（比较原则） 设定义在 上的两个非负函数 和 都在任何有限区间 上可积，且满足
则当 收敛时 也收敛（或者说若 发散时， 也一定发散）。
推论 2.8 如果 和 都在任何有限区间 是可积的，当 时， ， ，且 ，则有
(i) 当 时，和 同敛态；
(ii) 当 时，由 的收敛可以推断出 的收敛性；
(iii) 当 时，由 的发散可以推断出 的发散。
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