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    第三章 转子---轴承系统的数学建模与有限元分析
        根据Rao,在旋转机器中这样共振源的正弦曲线力是不平衡的,例如:转子---轴承系统。旋转机械包括涡轮机、电机、风机、发电机,或转动轴。不平衡是旋转机械振动的主要原因之一。下图示3.1是机器的简化模型。
    机器的总质量是M,有两个偏心质量m/2,旋转方向相反,角速度为常数,w。向心力(mew)/2取决于导致激励M的每个质量。两个相等的m/2,旋转方向相反,两者的水平力相互抵消。过主轴做一垂直平分的直线AA,如图3.1所示。质量块水平方向的角位置决定垂直分量。
     
    所以,运动方程为:
    M是不平衡质量,e是偏心量,w是旋转角速度,rad/s;t是时间,s。本章描述了转子---轴承系统的运动状态在有质量集中和恒定速度的自由旋转端。转子是由两个相同的滚动轴承支承的空心转轴。滚动轴承的作用是在运动中支承和定位转轴。每个轴承之间有两个弹簧,在弹簧之间有滚动体。滚动体保证位置的准确性。
    另外,还有保持架,它的主要作用是保证滚动体的方向夹角。左端点是转轴与齿轮紧密结合的驱动齿轮轴。轴保证电机转子正常的终止。
    3.1 转子—轴承系统的数学建模
    动态建模需要确定转子轴承系统的动态特性和相关的振动问题。早期的转子—轴承系统动态建模也使用了系统分析或传递矩阵的方法。传递矩阵法解决了动力学问题,在频域分析中,使其本身成为转子轴承系统的稳态响应。Prohl首次把该方法应用于转子轴承系统中,同时被朗德和奥克特使用。他们创立了转子在不间断系统中的传递矩阵,研究了振动的失衡。1970年,有限元分析的功能被认可。在这个领域中第一个研究的是Booker。基于各种理论,许多研究者应用有限元分析延申了转子轴承系统的性能分析。波尔克同样提出了一个瑞利梁理论。纳尔逊和McVaugh改善了瑞利梁理论在转轴中的有限元分析,包括平面因素,转动惯量,轴向载荷和旋转力矩。Gash提出了非稳态响应的线性阻尼公式。Zorzi和纳尔逊推广了这些发展。纳尔逊增加了剪力使瑞利梁理论发展为铁摩辛柯系数。在该模型中,忽略了内应力剪切变形的影响。后来,Kan扩展了研究,考虑到转动惯量的影响,轴向载荷、传递力矩、剪切变形、内部滞后和粘性力的影响。下图3.2所示,举例说明了外力作用下旋转机械不平衡的数学建模,由轴、轴承,和基础组成。
    在X和Y轴中的运动方程分别为:
     解方程3.3和3.4,微分得:
     整理3.5和3.6解得,由于外力导致的不平衡有恒定的转速:
     3.2 转子系统的有限元模型
    回顾转子轴承系统的研究历程,得出了转子系统的运动微分方程和一个典型的非平衡旋转机械,提出构建三维实体转子系统模型。一个三维体模型是研究有限元分析的起点,提出当受到偏心力作用保持恒定转速的自由端,研究转子系统的动态特性。
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